ベクトルの内積 - mfumiの日記

ベクトル $\mathbf{A} = (A_x,A_y,A_z)$ とベクトル $\mathbf{B} = (B_x,B_y,B_z)$ の内積 $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = |\mathbf{A}||\mathbf{B}|\cos\theta$ と $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$ が等しいことの証明。
とりあえず2次元で証明する。

上の図で、ベクトル $\mathbf{A}$ とベクトル $\mathbf{B}$ をそれぞれx成分とy成分に分解すると、 $A_x = |\mathbf{A}|\cos\alpha,A_y = |\mathbf{A}|\sin\alpha,B_x = |\mathbf{B}|\cos\beta,B_y = |\mathbf{B}|\sin\beta$
$A_xB_x + A_yB_y = |\mathbf{A}||\mathbf{B}|\cos\alpha\cos\beta + |\mathbf{A}||\mathbf{B}|\sin\alpha\sin\beta = |\mathbf{A}||\mathbf{B}|(\cos(\beta-\alpha))$ $= |\mathbf{A}||\mathbf{B}|\cos\theta$ （証明終)

簡単なことだけれど、聞かれたときにとっさに答えがでなかったのでめも。